ALJABAR BOOLE
Apakah suatu tindakan baik atau buruk?. Apakah keputusannya benar atau salah?. Apakah jawabannya ya atau tidak? Seringkali jalan pikiran dan logika kita berurusan dengan upaya untuk mencari jawaban dari pertanyaan yang mempunyai dua nilai seperti diatas.
De Morgan telah membuka pemikiran yang menghubungkan logika dengan matematika (aljabar) tetapi Boole yang telah berhasil
De Morgan telah membuka pemikiran yang menghubungkan logika dengan matematika (aljabar) tetapi Boole yang telah berhasil
menyatukannya. Boole membuktikan bahwa logika biner atau logika dua nilai berlaku untuk huruf dan lambang. Metode aljabar Boole digunakan untuk menguraikan, memanipulasi, dan menyederhanakan pernyataan logika dengan cara yang sistematik.
2.1. Aljabar Boole
Matematika merupakan sarana yang berguna dalam analisis rangkaian logika digital. Semua operasi logika dalam suatu rangkaian logika tegantung pada ada atau tiadanya sinyal, suatu variabel logika hanya dapat mempunyai salah satu dari dua nilai yang mungkin terjadi. Matematika dengan logika dua nilai itu disebut aljabar Boole dua nilai.
Dibawah ini adalah beberapa teorema untuk aljabar Boole dengan dua nilai:
Hukum-hukum komutatif:
x + y = y + x (2.1)
x.y = y.x (2.2)
Hukum-hukum asosiatif:
(x+y)+z = x+(y+z) (2.3)
(x.y).z = x.(y.z) (2.4)
Hukum distributif:
x.(y+z) = (x.y)+(x.z) (2.5)
x+(y.z) = (x+y).(x+z) (2.6)
Operasi-operasi Baru:
x+0 = x (2.7)
x.0 = 0 (2.8)
x+1 = 1 (2.9)
x.1 = x (2.10)
x+x = x (2.11)
x.x = x
x+ = 1 (2.12)
x. = 0 (2.13)
Teorema De Morgan:
(2.14)
(2.15)
Komplemen Ganda De Morgan:
(2.16)
Operasi-operasi Tambahan:
x + x.y = x (2.17)
x.(x+y) = x (2.18)
(x+y).(x+z) = x+y.z (2.19)
x+ .y = x+y (2.20)
x.( +y) = xy (2.21)
(x+y).( +z) = x.z+ y (2.22)
x.y + .z = (x+z).( +y) (2.23)
Setiap hukum, operasi dan teorema diatas dapat dibuktikan dengan menggunakan Tabel Kebenaran (truth table). Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan nilai variabel yang terdapat dalam suatu pernyataan, dalam hal ini adalah nilai-nilai 0 dan 1 untuk masing-masing variabel itu. Untuk suatu pernyataan dengan n variabel akan memerlukan 2n baris dalam tabel kebenarannya.
Aljabar Boole dengan 2 nilai ini setara dengan logika biner yang berhubungan dengan variabel yang mempunyai dua nilai diskret dan dengan operasi yang mempunyai arti logika. Logika biner selanjutnya digunakan untuk menjelaskan manipulasi dan pengolahan informasi biner secara matematika.
Logika biner mempunyai tiga operasi dasar: AND, OR dan NOT.AND. Operasi ini diwakili oleh sebuah bintik (dot) atau tanpa operator. Misalnya x.y = z atau xy = z dibaca “x AND y sama dengan z”. Ditulis dalam bentuk tabel kebenarannya:
2.1. Aljabar Boole
Matematika merupakan sarana yang berguna dalam analisis rangkaian logika digital. Semua operasi logika dalam suatu rangkaian logika tegantung pada ada atau tiadanya sinyal, suatu variabel logika hanya dapat mempunyai salah satu dari dua nilai yang mungkin terjadi. Matematika dengan logika dua nilai itu disebut aljabar Boole dua nilai.
Dibawah ini adalah beberapa teorema untuk aljabar Boole dengan dua nilai:
Hukum-hukum komutatif:
x + y = y + x (2.1)
x.y = y.x (2.2)
Hukum-hukum asosiatif:
(x+y)+z = x+(y+z) (2.3)
(x.y).z = x.(y.z) (2.4)
Hukum distributif:
x.(y+z) = (x.y)+(x.z) (2.5)
x+(y.z) = (x+y).(x+z) (2.6)
Operasi-operasi Baru:
x+0 = x (2.7)
x.0 = 0 (2.8)
x+1 = 1 (2.9)
x.1 = x (2.10)
x+x = x (2.11)
x.x = x
x+ = 1 (2.12)
x. = 0 (2.13)
Teorema De Morgan:
(2.14)
(2.15)
Komplemen Ganda De Morgan:
(2.16)
Operasi-operasi Tambahan:
x + x.y = x (2.17)
x.(x+y) = x (2.18)
(x+y).(x+z) = x+y.z (2.19)
x+ .y = x+y (2.20)
x.( +y) = xy (2.21)
(x+y).( +z) = x.z+ y (2.22)
x.y + .z = (x+z).( +y) (2.23)
Setiap hukum, operasi dan teorema diatas dapat dibuktikan dengan menggunakan Tabel Kebenaran (truth table). Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan nilai variabel yang terdapat dalam suatu pernyataan, dalam hal ini adalah nilai-nilai 0 dan 1 untuk masing-masing variabel itu. Untuk suatu pernyataan dengan n variabel akan memerlukan 2n baris dalam tabel kebenarannya.
Aljabar Boole dengan 2 nilai ini setara dengan logika biner yang berhubungan dengan variabel yang mempunyai dua nilai diskret dan dengan operasi yang mempunyai arti logika. Logika biner selanjutnya digunakan untuk menjelaskan manipulasi dan pengolahan informasi biner secara matematika.
Logika biner mempunyai tiga operasi dasar: AND, OR dan NOT.AND. Operasi ini diwakili oleh sebuah bintik (dot) atau tanpa operator. Misalnya x.y = z atau xy = z dibaca “x AND y sama dengan z”. Ditulis dalam bentuk tabel kebenarannya:
a. OR. Operasi ini diwakili oleh tanda plus. Misalnya x + y = z dibaca “x OR y sama dengan z”. :
b. NOT. Operasi ini diwakili oleh sebuah tanda aksen atau upperline. Ditulis dalam bentuk tabel kebenarannya:
Penerapan aljabar Boole dalam rangkaian logika dapat ditunjukkan dengan rangkaian saklar sederhana dibawah. Andaikan 2 saklar A dan B mewakili dua variabel biner dengan nilai sama dengan 0 untuk saklar terbuka dan nilai 1 untuk saklar tertutup, demikian juga untuk lampu L akan bernilai 1 apabila lampu L menyala dan bernilai 0 untuk lampu L padam, maka:
Untuk saklar dengan hubungan seri diatas, lampu akan menyala jika saklar A dan B ditutup, jika dinyatakan dalam aljabar Boole:
L = A . B atau L = A AND B.
Untuk saklar dengan hubungan paralel diatas, lampu akan menyala jika salah satu saklar atau kedua-duanya tertutup, jika dinyatakan dengan aljabar Boole:
L = A + B atau L = A OR B
Rangkaian logika yang melakukan operasi logika AND, OR dan NOT ditunjukkan dengan lambang dibawah:
Gerbang AND 2 masukan
Gerbang NOT atau pembalik
Catatan:
Lambang gerbang yang lain dijelaskan dosen yang bersangkutan.Rangkaian diatas yang disebut gerbang (gate) adalah perangkat keras (block hardware) yang menghasilkan suatu logika 1 atau 0 jika persyaratan logikanya terpenuhi. Gerbang merupakan rangkaian logika dengan satu keluaran dan satu atau beberapa masukan. Sinyal keluaran hanya terjadi untuk kombinasi-kombinasi sinyal mas
